ベータ関数

〜ベータ関数の定義〜
定義は、
\[ B\left(x,y\right)=\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^{y-1}dt \tag{1} \] になります。
重要な関数ですか??
重要ですね。物理学では、統計力学や量子力学で登場します。そもそも、この関数が研究された動機にしたって、解析力学で、式(1)のような形の関数がたびたび登場したからなんですよ。


Adrien-Marie Legendre(1752〜1833)
そうすると、この関数の性質を知っておくことは、それなりに意味があるってことですね。
はい。というわけで、いくつか覗いてみましょう。

〜ベータ関数の性質その1〜
まず、重要な性質の1つ目が対称性です。
対称性??
つまり、変数の\(x\)と\(y\)を入れ替えても結果は不変だということです。
\[ B\left(x,y\right)=B\left(y,x\right) \tag{2} \]
この証明は、\(t=1-u\)と置換すれば、簡単にできそうだな(\(dt=-du\))。
\[ B\left(x,y\right)=-\int^0_1 \left(1-u\right)^{x-1}u^{y-1}du=\int^1_0 u^{y-1}\left(1-u\right)^{x-1}du=B\left(y,x\right) \]
これは、問題なさそうですね。

〜ベータ関数の性質その2〜
ベータ関数は、次のような等式も成立します。
\[ B\left(x,y+1\right)=\frac{y}{x}B\left(x+1,y\right) \tag{3} \] 部分積分を利用すると証明できるはずです。
部分積分ね…。
\[ \begin{align*} B\left(x,y+1\right)&=\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^ydt=\left[\frac{1}{x}t^x\left(1-t\right)^y\right]^1_0+\frac{y}{x}\int^1_0 t^x\left(1-t\right)^{y-1}dt \\ &=\frac{y}{x}\int^1_0 t^x\left(1-t\right)^{y-1}dt=\frac{y}{x}B\left(x+1,y\right) \end{align*} \] でいいかな。
では、次の等式はどうでしょう??
\[ B\left(x+1,y\right)=\frac{x}{x+y}B\left(x,y\right) \tag{4} \]
こういうときは、たいてい、さっき導いた式を使うのが常套手段なんだよな。
\[ B\left(x+1,y\right)=\frac{x}{y}B\left(x,y+1\right)=\frac{x}{y}\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^ydt \] ん〜、先が続かない。攻め方を間違った??
いえ。ここで、少しテクニックを使います。
\[ \left(1-t\right)^y=\left(1-t\right)^{y-1}\left(1-t\right) \] としたら、どうでしょう。
とりあえず、前進できそうですね。
\[ \begin{align*} \frac{x}{y}\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^ydt&=\frac{x}{y}\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^{y-1}\left(1-t\right)dt \\ &=\frac{x}{y}\left[\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^{y-1}dt-\int^1_0 t^x\left(1-t\right)^{y-1}dt\right] \\ &=\frac{x}{y}\biggl[B\left(x,y\right)-B\left(x+1,y\right)\biggr] \end{align*} \] そうか、何か上手くいきそうですよ。
\[ \begin{align*} &B\left(x+1,y\right)=\frac{x}{y}\biggl[B\left(x,y\right)-B\left(x+1,y\right)\biggr] \\ &\quad\Leftrightarrow\quad\left(\frac{x}{y}+1\right)B\left(x+1,y\right)=\frac{x}{y}B\left(x,y\right) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad\left(x+y\right)B\left(x+1,y\right)=xB\left(x,y\right) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad B\left(x+1,y\right)=\frac{x}{x+y}B\left(x,y\right) \end{align*} \] ほら。
そうすると、
\[ B\left(x,y+1\right)=\frac{y}{x+y}B\left(x,y\right) \tag{5} \] も楽勝ですね??
これは、式(3)と式(4)を使えば、
\[ B\left(x,y+1\right)=\frac{y}{x}B\left(x+1,y\right)=\frac{y}{x}\frac{x}{x+y}B\left(x,y\right)=\frac{y}{x+y}B\left(x,y\right) \] ですね。

〜ベータ関数の性質その3〜
\(B\left(1,1\right)\)はどう計算されますか??
それは、
\[ B\left(1,1\right)=\int^1_0 dt=1 \tag{6} \] ですよね。
では、\(B\left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right)\)だと、どうでしょう??
ムムム。これは式(6)のように簡単には計算できなそうですね。
\[ \begin{align*} B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)&=\int^1_0t^{-\frac{1}{2}}\left(1-t\right)^{-\frac{1}{2}}dt=\int^1_0\frac{1}{\sqrt{t\left(1-t\right)}}dt=\int^1_0\frac{1}{\sqrt{t-t^2}}dt \\ &=\int^1_0\frac{1}{\sqrt{-\left(t^2-t+\cfrac{1}{4}\right)+\cfrac{1}{4}}}dt=\int^1_0\frac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{4}-\left(t-\cfrac{1}{2}\right)^2}}dt \\ \end{align*} \] これは、\(t=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\sin\theta\)って置換するのが常套手段ですね(\(dt=\cfrac{1}{2}\cos\theta d\theta\))。
\[ \begin{align*} B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)&=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{4}\sin^2\theta}}\times\cfrac{1}{2}\cos\theta d\theta \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cfrac{1}{2}\cos\theta}\times\cfrac{1}{2}\cos\theta d\theta=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}d\theta=\pi \tag{7} \end{align*} \] かな。

〜ベータ関数の性質その4〜
最後に、\(t=\sin^2\theta\)と置換したベータ関数を見ておきましょう。
これは、\(dt=2\sin\theta\cos\theta d\theta\)だから、
\[ \begin{align*} B\left(x,y\right)&=\int^1_0 t^{x-1}\left(1-t\right)^{y-1}dt \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sin^2\theta\right)^{x-1}\left(1-\sin^2\theta\right)^{y-1}\times2\sin\theta\cos\theta d\theta \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sin^2\theta\right)^{x-1}\left(\cos^2\theta\right)^{y-1}\times2\sin\theta\cos\theta d\theta \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^{2x-2}\theta\cos^{2y-2}\theta\times2\sin\theta\cos\theta d\theta \\ &=2\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}d\theta \tag{8} \end{align*} \] ですね。
はい。この公式も物理学ではよく出てくるので押さえておくといいと思います。ベータ関数については以上にしましょう。

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