〜Gauss積分の公式その1〜

		公式そのものは、 \[ \int^\infty_0\mathrm{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \] になります。
		この公式、いろいろなところに出現しますね。
		この証明は、いろいろと考案されていますが、以下に示すものが、おそらく最もエレガントな証明です。
		それは、どういう内容ですか??
		何と、左辺を2乗するんです。 \[ \left(\int^\infty_0\mathrm{e}^{-x^2}dx\right)^2=\int^\infty_0\mathrm{e}^{-x^2}dx\int^\infty_0\mathrm{e}^{-y^2}dy=\int^\infty_0\int^\infty_0\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy \]
		これはビックリですね。とても思い付きそうにありません。
		指数の部分を見て、何か閃きませんか??
		う〜ん。何となく円の式に見えるから、\(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\)というふうに置換してみたくなりますね。
		そうすると、 \[ \begin{align*} dxdy &= \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| drd\theta = \left| \begin{array}{cc} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{array} \right| drd \theta \\ &= \left( r\cos^2\theta+r\sin^2\theta\right) drd\theta=r\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right) drd\theta=rdrd\theta \end{align*} \] なので、 \[ \begin{align*} \int^\infty_0\int^\infty_0\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy&=\int^\frac{\pi}{2}_0\int^\infty_0\mathrm{e}^{-r^2}rdrd\theta=\int^\frac{\pi}{2}_0\left[-\frac{\mathrm{e}^{-r^2}}{2}\right]^\infty_0d\theta \\ &=\frac{1}{2}\int^\frac{\pi}{2}_0d\theta=\frac{\pi}{4} \end{align*} \] となります。
		そうか。2乗したのがこれだから、 \[ \int^\infty_0\mathrm{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \] になるってわけですね。何だか手品みたいな証明ですね。
		では、\(a>0\)として、 \[ \int^\infty_0\mathrm{e}^{-ax^2}dx \] はどのように求められますか??
		それは、\(x=\cfrac{1}{\sqrt{a}}t\)と置換して(\(dx=\cfrac{1}{\sqrt{a}}dt\))、 \[ \int^\infty_0\mathrm{e}^{-ax^2}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\int^\infty_0\mathrm{e}^{-t^2}dt=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \] ですね。

〜Gauss積分の公式その2〜

		積分の範囲を広げると、 \[ \int^\infty_{-\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \] になりますが、これもGauss積分の公式として、よく出てきます。
		これは、 \[ \int^\infty_{-\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}dx=\int^\infty_0\mathrm{e}^{-ax^2}dx+\int^0_{-\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}dx=2\int^\infty_0\mathrm{e}^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \] だから当然ですね。
		しれっと、 \[ \int^\infty_0\mathrm{e}^{-ax^2}dx=\int^0_{-\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}dx \] としているようですが??
		だって、右辺は\(x=-t\)と置換すると(\(dx=-dt\))、 \[ \int^0_{-\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}dx=-\int^0_\infty\mathrm{e}^{-at^2}dt=\int^{\infty}_0\mathrm{e}^{-at^2}dt \] ですよね??
		なるほど。問題なさそうですね。Gauss積分の公式については以上にしましょう。

---

戻る