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定義は、 \[ \Gamma\left(z\right)=\int^\infty_0 t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}dt \tag{1} \] になります。\(s\)は複素数です。ところで、階乗はご存じ?? | |
 | 知ってますよ。自然数を\(n\)としたときに、\(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\times\cdots\times2\times1\)のことですよね??確率・統計を勉強すると、やたら出てきますもん。 | |
| そうです。\(n!\)とも書きますね。ところで、この階乗の\(n\)を複素数に拡張することはできるでしょうか?? | |
| 教授。そんなの意味ないに決まってるじゃないですか。\(n\)から1ずつ減らしていっても最後は1になりませんよ。 | |
| ところが、式(1)を使うと、階乗の複素数への拡張が可能になるのです。 | |
| え〜。俄かには信じがたいです。 | |
| では、ガンマ関数の一般的な性質を少しだけ覗いてみましょう。 |
〜ガンマ関数の性質その1〜
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まず、重要な性質の1つ目が、 \[ \Gamma\left(z+1\right)=z\Gamma\left(z\right) \tag{2} \] です。これは部分積分を使うと証明できますね。 | |
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部分積分か…。 \[ \Gamma\left(z+1\right)=\int^\infty_0 t^z\mathrm{e}^{-t}dt=\biggl[-t^z\mathrm{e}^{-t}\biggr]^\infty_0+z\int^\infty_0 t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}dt=z\Gamma\left(z\right) \] ですね。 | |
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ということは、 \[ \begin{align*} \Gamma\left(z+1\right)&=z\Gamma\left(z\right) \\ &=z\left(z-1\right)\Gamma\left(z-1\right) \\ &=z\left(z-1\right)\left(z-2\right)\Gamma\left(z-2\right) \\ &=\cdots \\ &=z\left(z-1\right)\left(z-2\right)\times\cdots\times3\times2\times\Gamma\left(1\right) \tag{3} \end{align*} \] が成立しそうです。 | |
| お〜。階乗っぽくなってきましたね。 | |
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しかも、 \[ \Gamma\left(1\right)=\int^\infty_0\mathrm{e}^{-t}dt=\left[-\mathrm{e}^{-t}\right]^\infty_0=1 \] ですから、式(3)は、 \[ \Gamma\left(z+1\right)=z! \tag{4} \] となるわけです。 | |
| つまり、ガンマ関数というのは階乗の計算を別の形式で表現したものだってことですね。 | |
| そういうことです。そして、\(z\)は複素数なので、それは取りも直さず階乗を複素数に拡張したことになるのです。 | |
| 凄い発想ですね…。 |
〜ガンマ関数の性質その2〜
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もう1つ、ガンマ関数の重要な性質として、ベータ関数との関係を示しておきましょう。それは、 \[ B\left(x,y\right)=\frac{\Gamma\left(x\right)\Gamma\left(y\right)}{\Gamma\left(x+y\right)} \tag{5} \] という関係です。 | |
| いきなり証明できますか?? | |
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例えば、式(5)を、 \[ \Gamma\left(x\right)\Gamma\left(y\right)=B\left(x,y\right)\Gamma\left(x+y\right) \tag{6} \] と変形して、左辺から攻めていくのはどうでしょう?? | |
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左辺から攻める、か…。 \[ \Gamma\left(x\right)\Gamma\left(y\right)=\int^\infty_0s^{x-1}\mathrm{e}^{-s}ds\int^\infty_0t^{y-1}\mathrm{e}^{-t}dt=\int^\infty_0\int^\infty_0s^{x-1}t^{y-1}\mathrm{e}^{-s-t}dsdt \] ん〜、先が続かないなぁ。 | |
| やり方はいろいろありますが、\(s=u\left(1-v\right)\)、\(t=uv\)と置換したら?? | |
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そんなアクロバティックな置換、思い付かないですけど…。え〜と、そうすると、 \[ \begin{align*} dsdt &= \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial s}{\partial u} & \cfrac{\partial s}{\partial v} \\ \cfrac{\partial t}{\partial u} & \cfrac{\partial t}{\partial v} \end{array} \right| dudv = \left| \begin{array}{cc} 1-v & -u \\ v & u \end{array} \right| dudv = \left( u-uv+uv\right) dudv=ududv \end{align*} \] だから、 \[ \begin{align*} \Gamma\left(x\right)\Gamma\left(y\right)&=\int^1_0\int^\infty_0\bigl[u\left(1-v\right)\bigr]^{x-1}\left(uv\right)^{y-1}\mathrm{e}^{-u}ududv \\ &=\int^1_0\int^\infty_0u^{x-1}\left(1-v\right)^{x-1}u^{y-1}v^{y-1}\mathrm{e}^{-u}ududv \\ &=\int^1_0v^{y-1}\left(1-v\right)^{x-1}dv\int^\infty_0u^{x+y-1}\mathrm{e}^{-u}du \\ &=B\left(y,x\right)\Gamma\left(x+y\right) \tag{7} \end{align*} \] あれ、ベータ関数の\(x\)と\(y\)がひっくり返っちゃいました。 | |
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ベータ関数は対称性が成立するので、 \[ B\left(y,x\right)=B\left(x,y\right) \] 式(7)は式(6)になります。 | |
| そういうことか。 | |
| 他にも、いろいろな性質がありますが、とりあえず、これだけ押さえておけば充分でしょう。 |
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