2.1 偏光(2)

〜Jonesベクトル〜
偏光は、直交する2つの直線偏光に分解することができると言いましたが、それぞれで異なっているのは振幅と初期位相です。
はい。
そこで、式2.1.1と式2.1.2を指数関数表示に変えて、次のように書き直してみましょう。 \[ E_x = A_x \exp \big[ i \left( kz - \omega t + \phi_x \right) \big] = A_x \mathrm{e}^{i \phi_x} \exp \big[ i \left( kz - \omega t \right) \big] \tag{2.1.6} \] \[ E_y = A_y \exp \big[ i \left( kz - \omega t + \phi_y \right) \big] = A_y \mathrm{e}^{i \phi_y} \exp \big[ i \left( kz - \omega t \right) \big] \tag{2.1.7} \] そうすると、偏光を議論する場合、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} A_x \mathrm{e}^{i \phi_x} \\ A_y \mathrm{e}^{i \phi_y} \end{array} \right) \] というベクトルだけをケアすれば充分だと気が付きます。
なるほど。
このようなベクトルをJonesベクトルと言います。


Robert Clark Jones(1916〜2004)
こういうときって、規格化したりしませんか??
そうですね。ついでに、位相差\(\delta\)も考慮して、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ {A_x}^2 + {A_y}^2 } } \left( \begin{array}{c} A_x \mathrm{e}^{i \phi_x} \\ A_y \mathrm{e}^{i \phi_y} \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ {A_x}^2 + {A_y}^2 } } \left( \begin{array}{c} A_x \\ A_y \mathrm{e}^{i \delta} \end{array} \right) \tag{2.1.8} \] としておきましょう。
例えば、\(x\)方向の直線偏光だと、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \tag{2.1.9} \] ですか??
はい。同じく、\(y\)方向の直線偏光だと、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \tag{2.1.10} \] ですね。\(x\)方向から\(45^{\circ}\)傾いた直線偏光だと??
その場合は、\(A_x=A_y\)で、\(\delta=0\)だから、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \tag{2.1.11} \] かな。
同じように、\(x\)方向から\(-45^{\circ}\)傾いた直線偏光だと、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \tag{2.1.12} \] となります。では、右まわり円偏光だと??
ん〜、\(A_x=A_y\)、\(\delta=\cfrac{\pi}{2}\)として、 \[ \exp \left( i \frac{ \pi }{ 2 } \right) = \cos \frac{ \pi }{ 2 } + i \sin \frac{ \pi }{ 2 } = i \] だから、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ i \end{array} \right) \tag{2.1.13} \] ですね。
同じようにして、左まわり円偏光は、 \[ \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array} \right) \tag{2.1.14} \] であることが計算できます。

〜Jones行列〜
教授。Jonesベクトルが分かっても、イマイチ何が嬉しいのかピンと来ないんですけど。
そうですね。これだけだと、何の役にも立ちません。実は、偏光を変換する光学素子が知られてまして、その素子の機能を行列で表現できます。これをJones行列と言いますが、これを組み合わせることで、入射した光の偏光が、その素子を透過すると、どのような偏光に変換されるか分かる(論文)のです。
そういうことか。
例えば、透過軸が\(x\)方向の直線偏光子の場合は、 \[ T= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \tag{2.1.15} \] と書けます。計算するまでもなく、\(x\)方向の直線偏光はこの素子を透過しても偏光は維持されますし、\(y\)方向の直線偏光はこの素子を透過できません。また、円偏光の場合、\(x\)方向の成分だけがこの素子を透過します。
どれどれ。\(x\)方向の直線偏光の場合は、 \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] で、確かに維持されてますね。それから、\(y\)方向の直線偏光の場合は、 \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \] で、何も透過しないってことか。最後に、右まわり円偏光で計算すると、 \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ i \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] で、\(x\)方向の直線偏光だけになるってわけですね。
そういうことです。
教授。この行列はどうやって求めるんですか??
Jones計算法は理論的な話とは別で、あくまで偏光に特化した計算手法にすぎません。一種のテクニックなんです。だから、素子に対応するJones行列は覚えるしかありませんね。尤も、頻繁に使われる素子はJones行列が分かっているので、調べればいくらでも出てきます。
そうなんだ。
ただ、Jones計算法は便利なのでね。よく使われますよ。
他には、どんな行列があるんですか??
代表的なものをいくつか紹介しましょう。例えば、1/4波長板という光学素子があります。この素子は、進相軸と呼ばれる「光の位相を進める軸」が存在し、その軸を\(x\)方向に設定した場合、 \[ T= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \tag{2.1.16} \] と書けます。どんな振る舞いをするか計算してみてください。
まず、\(x\)方向の直線偏光の場合は、 \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] あれ??何も変わらないのか…。
\(x\)方向から\(45^{\circ}\)傾いた直線偏光だと??
ん〜と、 \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } \left( \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array} \right) \] お、式2.1.14になった。てことは、左まわり円偏光に変換されたってことか。
そうですね。1/4波長板は、上手く設定してやると直線偏光を円偏光に変換する素子だということが分かります。とすれば―。
逆もまた真なり?? \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array} \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \] お〜、左まわり円偏光は直線偏光になったけど…。さっきと向きが違う。
はい。このことから、1/4波長板を並べてやると、
　1枚目は\(x\)方向に\(45^{\circ}\)傾いた直線偏光を左まわり円偏光に変換
　2枚目は更に\(x\)方向に\(-45^{\circ}\)傾いた直線偏光に変換
　3枚目は更に右まわり円偏光に変換
　4枚目は更に\(x\)方向に\(45^{\circ}\)傾いた直線偏光に変換
という具合に一巡させることになります。
なるほど。
また、1/2波長板という光学素子がありますが、進相軸を\(x\)方向に設定した場合、 この素子は1/4波長板を2枚重ねしたのと同じことですから、 \[ T= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right) \tag{2.1.17} \] となります。
他の波長板ってあるんですか??
波長板のような素子は、ひっくるめて移相子と呼ばれますが、いずれにしても「進相軸が、どのくらい位相を進めるのか」という情報がポイントです。進相軸を\(x\)方向にセットし、その進み具合を\(\varepsilon\)とした場合、一般的に、 \[ T= \left( \begin{array}{cc} \mathrm{e}^{i \varepsilon} & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \tag{2.1.18} \] と表します。
1/4波長板だと\(\varepsilon\)は??
\(\varepsilon=\cfrac{\pi}{2}\)ですね。このとき、式2.1.16が得られます。
素子が\(\theta\)だけ傾いたケースは計算できるんですか??
できますね。偏光を議論するうえでは、JonesベクトルとJones行列の相対的な位置関係のみが争点になるので、考え方としては、Jones行列を回転するというよりも、相対的にJonesベクトルの方を\(-\theta\)だけ回転させたうえでJones行列を作用させ、それを再び\(\theta\)だけ回転させて元に戻すという操作をするのです。つまり、 \[ T \left( \theta \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) T \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \tag{2.1.19} \] を演算するということになります。
透過軸が\(y\)方向の直線偏光子だと、式2.1.15を\(90^{\circ}\)回転させればよくて、 \[ T \left( \theta \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ -\sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{array} \right) \] \[ \phantom{T \left( \theta \right)} = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \tag{2.1.20} \] ってことか。
同じように、進相軸が\(x\)方向から\(\theta\)だけ傾いた1/2波長板だと??
ん〜と。 \[ T \left( \theta \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \] \[ \phantom{T \left( \theta \right)} = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{array} \right) \tag{2.1.21} \] ですね。
こんな具合に、Jones計算法は機械的に偏光を議論できるので、知っておくと重宝します。Jones計算法については、この辺にしておきましょう。

前頁へ 戻る 次頁へ