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前回やり残した係数の導出をしておきましょう。まず、Snellの法則を思い出してください。
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吸収媒質の場合は、
\[
n_1 \sin \theta_1 = \tilde{n}_2 \sin \theta_2 \tag{2.5.16}
\]
でしたね。
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とすると、\(\sin\theta_2\)は??
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こうかな…。
\[
\sin \theta_2 = \frac{n_1}{\tilde{n}_2} \sin \theta_1 = \frac{n_1}{n_2+i\kappa_2} \sin \theta_1 = \frac{n_1 \left( n_2-i\kappa_2 \right)}{{n_2}^2+{\kappa_2}^2} \sin \theta_1 \tag{2.5.23}
\]
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\(\cos\theta_2\)はどうなりますか??
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それは、こうだな…。
\[
\begin{align*}
\cos \theta_2
&= \sqrt{1 - \sin^2 \theta_2}
= \sqrt{1 - \frac{{n_1}^2 \left( n_2-i\kappa_2 \right)^2}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1} \\
&= \sqrt{1 - \frac{{n_1}^2 \left( {n_2}^2-{\kappa_2}^2 \right)}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 + i \frac{2{n_1}^2 n_2\kappa_2}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1} \tag{2.5.24}
\end{align*}
\]
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式2.5.24は、非常に複雑な形をしてますが、複素数であることは間違いありませんね??
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まぁ、そうかな。
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ということで、
\[
\cos \theta_2 = a + i b
\]
と置くことにしましょう(\(a\)、\(b\)は正の実数)。それで、\(a\)と\(b\)を決定してください。
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とりあえず、2乗するか…。
\[
1 - \frac{{n_1}^2 \left( {n_2}^2-{\kappa_2}^2 \right)}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 + i \frac{2{n_1}^2 n_2\kappa_2}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 = a^2 - b^2 + 2iab
\]
で、実部と虚部が同じだと考えればいいから、
\[
\left\{ \
\begin{array}{l}
1 - \cfrac{{n_1}^2 \left( {n_2}^2-{\kappa_2}^2 \right)}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 = a^2 - b^2 \\
\cfrac{{n_1}^2 n_2\kappa_2}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 = ab
\end{array}
\right.
\]
ですね。
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そこまではいいでしょう。ただ、式が煩雑になるので、
\[
\begin{align*}
&c \equiv \cfrac{{n_1}^2 \left( {n_2}^2-{\kappa_2}^2 \right)}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 \tag{2.5.25} \\
&d \equiv \cfrac{{n_1}^2 n_2\kappa_2}{\left( {n_2}^2+{\kappa_2}^2 \right)^2} \sin^2 \theta_1 \tag{2.5.26}
\end{align*}
\]
としておきましょうか。つまり、
\[
\left\{ \
\begin{array}{l}
1 - c = a^2 - b^2 \\
d = ab
\end{array}
\right.
\]
ということです。
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ん〜、まずは\(a\)から求めるとするか…。
\[
a^4 - \left( 1 - c \right) a^2 -a^2 b^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad a^4 - \left( 1 - c \right) a^2 -d^2 = 0
\]
だから、
\[
a^2 = \frac{ \sqrt{ \left( 1 - c \right)^2 + 4 d^2 } + \left( 1 - c \right) }{2} \tag{2.5.27}
\]
ですね。\(a\)は、この平方根をとればいいと思います。
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\(b\)も同様にして、
\[
b^2 = \frac{ \sqrt{ \left( 1 - c \right)^2 + 4 d^2 } - \left( 1 - c \right) }{2} \tag{2.5.28}
\]
の平方根をとれば求まりますね。この\(a\)と\(b\)を前提にして、\(r_p\)を計算し直してください。
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こうかな…。
\[
\begin{align*}
r_p
&= \frac{ \tilde{n}_2 \cos \theta_1 - n_1 \cos \theta_2 }{ \tilde{n}_2 \cos \theta_1 + n_1 \cos \theta_2 }
= \frac{ \left( n_2 + i \kappa_2 \right) \cos \theta_1 - n_1 \left( a + i b \right) }{ \left( n_2 + i \kappa_2 \right) \cos \theta_1 + n_1 \left( a + i b \right) } \\
&= \frac{ \left( n_2 \cos \theta_1 - a n_1 \right) + i \left( \kappa_2 \cos \theta_1 - b n_1 \right) }{ \left( n_2 \cos \theta_1 + a n_1 \right) + i \left( \kappa_2 \cos \theta_1 + b n_1 \right) } \tag{2.5.29}
\end{align*}
\]
\[
\phantom{r_p}= \frac{ {n_2}^2 \cos^2 \theta_1 - a^2 {n_1}^2 + {\kappa_2}^2 \cos^2 \theta_1 - b^2 {n_1}^2 + 2 \left( a n_1 \kappa_2 \cos \theta_1 - b n_1 n_2 \cos \theta_1 \right) i }{ \left( n_2 \cos \theta_1 + a n_1 \right)^2 + \left( \kappa_2 \cos \theta_1 + b n_1 \right)^2 }
\]
\[
\phantom{r_p}= \frac{ \left( {n_2}^2 + {\kappa_2}^2 \right) \cos^2 \theta_1 - \left( a^2 + b^2 \right) {n_1}^2 + 2 n_1 \cos \theta_1 \left( a \kappa_2 - b n_2 \right) i }{ \left( n_2 \cos \theta_1 + a n_1 \right)^2 + \left( \kappa_2 \cos \theta_1 + b n_1 \right)^2 } \tag{2.5.30}
\]
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同じく\(r_s\)は??
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こうですね…。
\[
\begin{align*}
r_s
&= \frac{ n_1 \cos \theta_1 - \tilde{n}_2 \cos \theta_2 }{ n_1 \cos \theta_1 + \tilde{n}_2 \cos \theta_2 }
= \frac{ n_1 \cos \theta_1 - \left( n_2 + i \kappa_2 \right) \left( a + ib \right) }{ n_1 \cos \theta_1 + \left( n_2 + i \kappa_2 \right) \left( a + ib \right) } \\
&= \frac{ n_1 \cos \theta_1 - \big[ \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) + i \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) \big] }{ n_1 \cos \theta_1 + \big[ \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) + i \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) \big] } \\
&= \frac{ \big[ n_1 \cos \theta_1 - \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big] - i \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) }{ \big[ n_1 \cos \theta_1 + \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big] + i \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) } \tag{2.5.31}
\end{align*}
\]
\[
\phantom{r_s}= \frac{ {n_1}^2 \cos^2 \theta_1 - \left( a n_2 - b \kappa_2 \right)^2 - \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 - 2 n_1 \cos \theta_1 \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) i }{ \big[ n_1 \cos \theta_1 + \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big]^2 + \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 }
\]
\[
\phantom{r_s}= \frac{ {n_1}^2 \cos^2 \theta_1 - \left( a^2 + b^2 \right) \left( {n_2}^2 +{\kappa_2}^2 \right) - 2 n_1 \cos \theta_1 \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) i }{ \big[ n_1 \cos \theta_1 + \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big]^2 + \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 } \tag{2.5.32}
\]
ふ〜。
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ここまで来れば、あと一息です。\(\rho_p\)は、\(r_p\)の実部と虚部の2乗和平方根ですし、\(\tan\psi_p\)は虚部/実部ですよ。\(s\)成分も同様です。
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てことは―。
\[
\begin{align*}
&\rho_p = \frac{ \sqrt{ \big[ \left( {n_2}^2 + {\kappa_2}^2 \right) \cos^2 \theta_1 - \left( a^2 + b^2 \right) {n_1}^2 \big]^2 + 4 {n_1}^2 \cos^2 \theta_1 \left( a \kappa_2 - b n_2 \right)^2 } }{ \left( n_2 \cos \theta_1 + a n_1 \right)^2 + \left( \kappa_2 \cos \theta_1 + b n_1 \right)^2 } \tag{2.5.33} \\
&\psi_p
= \tan^{-1} \frac{ 2 n_1 \cos \theta_1 \left( a \kappa_2 - b n_2 \right) }{ \left( {n_2}^2 + {\kappa_2}^2 \right) \cos^2 \theta_1 - \left( a^2 + b^2 \right) {n_1}^2 } \tag{2.5.34} \\
&\rho_s
= \frac{ \sqrt{ \big[ {n_1}^2 \cos^2 \theta_1 - \left( a^2 + b^2 \right) \left( {n_2}^2 +{\kappa_2}^2 \right) \big]^2 + 4 {n_1}^2 \cos^2 \theta_1 \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 } }{ \big[ n_1 \cos \theta_1 + \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big]^2 + \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 } \tag{2.5.35} \\
&\psi_s
= \tan^{-1} \frac{ - 2 n_1 \cos \theta_1 \left( a \kappa_2 + b n_2 \right) }{ {n_1}^2 \cos^2 \theta_1 - \left( a^2 + b^2 \right) \left( {n_2}^2 +{\kappa_2}^2 \right) } \tag{2.5.36}
\end{align*}
\]
ですね。疲れた…。
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エネルギー反射率は、前回にも言ったように振幅反射率を2乗すればいいので、
\[
\begin{align*}
&R_p = {\rho_p}^2 \tag{2.5.37} \\
&R_s = {\rho_s}^2 \tag{2.5.38}
\end{align*}
\]
です。ただ、この計算については、式2.5.29、式2.5.31を使えばもっとシンプルに書けます。
\[
\begin{align*}
&R_p = {\rho_p}^2 = \rho_p {\rho_p}^{*}
= \frac{ \left( n_2 \cos \theta_1 - a n_1 \right)^2 + \left( \kappa_2 \cos \theta_1 - b n_1 \right)^2 }{ \left( n_2 \cos \theta_1 + a n_1 \right)^2 + \left( \kappa_2 \cos \theta_1 + b n_1 \right)^2 } \tag{2.5.39} \\
&R_s = {\rho_s}^2 = \rho_s {\rho_s}^{*} = \frac{ \big[ n_1 \cos \theta_1 - \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big]^2 + \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 }{ \big[ n_1 \cos \theta_1 + \left( a n_2 - b \kappa_2 \right) \big]^2 + \left( a \kappa_2 + b n_2 \right)^2 } \tag{2.5.40}
\end{align*}
\]
前回のグラフは、これらの結果を使って描いたんですよ。
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垂直入射だと\(c=d=0\)だから、\(a=1\)、\(b=0\)になって、これらと\(\cos\theta_1=1\)を式2.5.39(式2.5.40)に代入すれば、
\[
R_p = R_s = \frac{ \left( n_2 - n_1 \right)^2 + {\kappa_2}^2 }{ \left( n_2 + n_1 \right)^2 + {\kappa_2}^2 } \tag{2.5.41}
\]
ってことですね。
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式2.3.12からアプローチしても同じ結果になりますよ。
\[
\begin{align*}
R_p = R_s &= \left| \frac{ \tilde{n}_2 - n_1 }{ \tilde{n}_2 + n_1 } \right|^2
= \left| \frac{ n_2 + i \kappa_2 - n_1 }{ n_2 + i \kappa_2 + n_1 } \right|^2
= \left| \frac{ \left( n_2 - n_1 \right) + i \kappa_2 }{ \left( n_2 + n_1 \right) + i \kappa_2 } \right|^2 \\
&= \frac{ \left( n_2 - n_1 \right)^2 + {\kappa_2}^2 }{ \left( n_2 + n_1 \right)^2 + {\kappa_2}^2 } \tag{2.5.42}
\end{align*}
\]
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