 | さて、ここからMaxwell方程式を具体的に解いていきますが、いきなり一般解を求めるようなことはしません。 | |
 | ふ〜、一安心。 | |
| 通常は、電磁波が伝搬する媒質ごとに分類して方程式を解きます。まずは、最も簡単なケースからいきましょう。均質・等方性・非吸収媒質のケースです。 | |
| 均質・等方性・非吸収媒質?? | |
| ガラス、空気、プラスチック、水のような媒質です。これらは、伝導電流よりも変位電流が有意という意味で誘電体と呼ばれます。 | |
| ということは、\(\vec{\mathstrut j}=0\)でいい?? | |
| 更に、巨視的な議論においては\(\rho=0\)も成立します。 | |
| てことは、 \[ \nabla \times \vec{\mathstrut H} = \frac{ \partial \vec{\mathstrut D} }{ \partial t } \quad \Big( \Leftrightarrow \nabla \times \vec{\mathstrut H} = \varepsilon \frac{ \partial \vec{\mathstrut E} }{ \partial t } \Big) \tag{1.4.1} \] \[ \nabla \times \vec{\mathstrut E} = - \frac{ \partial \vec{\mathstrut B} }{ \partial t } \quad \Big( \Leftrightarrow \nabla \times \vec{\mathstrut E} = - \mu \frac{ \partial \vec{\mathstrut H} }{ \partial t } \Big) \tag{1.4.2} \] \[ \nabla \cdot \vec{\mathstrut D} = 0 \quad \Big( \Leftrightarrow \nabla \cdot \vec{\mathstrut E} = 0 \Big) \tag{1.4.3} \] \[ \nabla \cdot \vec{\mathstrut B} = 0 \quad \Big( \Leftrightarrow \nabla \cdot \vec{\mathstrut H} = 0 \Big) \tag{1.4.4} \] ですね。 | |
| では、まず式1.4.1に\(\nabla \times\)を演算してください。 | |
| え〜、また計算するんですか〜?? | |
| そうですよ。 | |
| しょうがないなぁ。じゃ、まず左辺から―。 \[ \nabla \times \big( \nabla \times \vec{\mathstrut H} \big) = \] 教授。いきなり躓いているんですけど。 | |
| 公式があります。 \[ \nabla \times \big( \nabla \times \vec{\mathstrut H} \big) = \nabla \big( \nabla \cdot \vec{\mathstrut H} \big) - \nabla ^2 \vec{\mathstrut H} \] ですね。 | |
| 公式集が必要ってことか…。あれ??この左辺の第1項って式1.4.4があるから\(0\)では?? | |
| はい。 | |
| ラッキ〜。 \[ \nabla \times \big( \nabla \times \vec{\mathstrut H} \big) = - \nabla ^2 \vec{\mathstrut H} \] 左辺確定。そしたら、右辺ですね―。 \[ \nabla \times \varepsilon \frac{ \partial \vec{\mathstrut E} }{ \partial t } = \varepsilon \frac{ \partial }{ \partial t } \big( \nabla \times \vec{\mathstrut E} \big) = \varepsilon \frac{ \partial }{ \partial t } \Big( - \mu \frac{ \partial \vec{\mathstrut H} }{ \partial t } \Big) = - \varepsilon \mu \frac{ \partial ^2 \vec{\mathstrut H} }{ \partial t ^2 } \] 途中で、式1.4.2を代入しましたけど…。 | |
| 問題ないです。そうすると?? | |
| こうかな。 \[ \nabla ^2 \vec{\mathstrut H} = \varepsilon \mu \frac{ \partial ^2 \vec{\mathstrut H} }{ \partial t ^2 } \tag{1.4.5} \] | |
| 式1.4.2から出発し、同じ手順で、 \[ \nabla ^2 \vec{\mathstrut E} = \varepsilon \mu \frac{ \partial ^2 \vec{\mathstrut E} }{ \partial t ^2 } \tag{1.4.6} \] も導くことができます。何か気が付きません?? | |
| 思ったほど計算は大変じゃなかったな、ってことかな。 | |
| そういうことじゃなくて…。式1.2.3と比べてみてください。 \[ \nabla ^2 u = \frac{ 1 } { {v_p} ^2 } \frac{ \partial ^2 u }{ \partial t ^2 } \tag{1.2.3} \] | |
| あ!!そっくりだ。てことは、式1.4.5(式1.4.6)は波動を意味してるってことか。 | |
| そうです。そして、2つの式のアナロジーで考えると、電磁波の位相速度は、 \[ v_p = \frac{ 1 }{ \sqrt{ \varepsilon \mu } } \tag{1.4.7} \] となります。 | |
| なるほど。 | |
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真空中の誘電率\(\varepsilon_0\)と透磁率\(\mu_0\)は物理定数として測定されているので、位相速度\(v_p\)を計算してみましょう。 \(\varepsilon_0\) = 8.854×10-12 F/m \(\mu_0\) = 1.257×10-6 H/m |
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| ん〜。 \[ v_p = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 8.854 \times 10 ^{-12} \times 1.257 \times 10 ^ {-6} } } = 2.998 \times 10 ^8 {\rm m/s} \] になりましたけど。 | |
| 光速は299,792,458m/sと定義されています。 | |
| お??お??お〜??ひょっとして?? | |
| そうです。つまり、 \[ c = \frac{ 1 }{ \sqrt{ \varepsilon _0 \mu _0 } } \tag{1.4.8} \] が導けました。このことから、Maxwellは、光も電磁波の一種であり、しかも光速\(c\)は物理学の不変定数であることを予言するわけです。 | |
| これは不思議だ〜。 | |
| Maxwellの天才性が分かりましたか?? | |
| 御見それしました。 | |
| ちなみに、光速を\(c\)で表記するのは、速さを意味するラテン語celeritasが由来です。 |
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